容斥问题是在数量关系中的常规考点，但是现在资料分析中出现了一类新题型，就是涉及数量关系与资料分析知识点相结合的题目，尤其考查较多的是两者容斥原理与资料分析相结合，这是一类值得我们注意的题型。

一、公式引入

容斥问题常见考点为二者容斥、三者容斥以及容斥极值，解决容斥问题常用的方法是文氏图或者公式法。

二、题型特征和解题思路

题型特征：如果一个资料分析题目里出现了“既属于A又属于B”或者“两者都不属于”类似的关键字眼时，可以考虑引入容斥思想。

【例题】

调查显示，关于家庭存书共享意愿的问题，选择“无条件愿意”“有条件愿意”“不愿意”“不知道/不清楚”的受访市民所占比重分别是60.8%、15.1%、20.6%、3.5%。

选择“无条件愿意”共享家庭存书的受访市民中，一定有人的家庭存书为：

A.50册及以下 B.51-100册 C.101-300册 D.301册及以上

【答案】A。华图事业单位解析：由文字可知，选择“无条件愿意”的受访市民所占比重是60.8%，由饼状图可知受访市民家庭存书情况中50册及以下的比重为40.1%，因为60.8%+40.1%>100%，所以必然有重合部分，故答案选A。

三、巩固训练

【例题1】 材料：截至2019年末，全国已有残疾人康复机构9775个，比2018年增长739个。2019年，1043.0万残疾儿童及持证残疾人得到基本康复服务，其中包括0—6岁残疾儿童18.1万人。

问题：如提供视力残疾康复服务的残疾人康复机构中，同时提供听力言语残疾康复服务的机构比不提供该服务的机构多20%，则2019年年末全国有多少家残疾人康复机构不提供以上两种康复服务中的任意一种?

A.不到 7300 家 B.7300~7600 家 C.7600~7900 家 D.超过 7900 家

【答案】B。华图事业单位解析：设集合A为提供视力残疾康复服务的康复机构数;集合B为提供听力言语残疾康复服务的机构数;全集I为2019年末全国残疾人康复机构数量;M为全国残疾人康复机构中不提供以上两种服务中任意一种的机构数量。由题可知，提供视力残疾康复服务的残疾人康复机构数量为1430家，设提供视力残疾康复服务的机构中不提供听力言语残疾康复服务的机构数为x，则提供听力言语残疾康复服务的机构数为1.2x，则有x+1.2x=1430，x=650;1.2x=780，即A∩B=780。根据两者容斥公式I=A+B-A∩B+M可得，9775=1430+1669-780+M，M=7456。

【例题2】某市统计局在针对噪音扰民的一次调查中，当问及是否支持广场舞活动时，12.8%的受访市民表示无所谓或者不知道，12.0%的受访者回答表示反对，其他为支持者。在支持的市民中，当被问及支持的主要原因(多选)时，不同年龄段受访者的回答如下表。

支持广场舞等活动的受访市民选择各主要原因的比例(%)

问题：此次调查中，在支持广场舞等活动的受访青年市民中，同时选择“中老年人的正常锻炼娱乐活动”和“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”的至少有：

A.64.7% B.35.3% C.30.7% D.28.6%

【答案】C。华图事业单位解析：定位至表格材料“中老年人的正常锻炼娱乐活动”和“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”所在行;受访青年中“中老年人的正常锻炼娱乐活动”占比为66%，“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”的占比为64.7%。问的是“同时选择中老年人的正常锻炼娱乐活动”和“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”的情况，即把选择“中老年人的正常锻炼娱乐活动”的当作A集合，选择“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”的当作B集合，同时选择AB集合的人最少，即二者尽可能不重合。根据两者容斥极值公式：A∩Bmin=A+B-I,故同时选择“中老年人的正常锻炼娱乐活动”和“有利于中老年人扩大社交、排解孤独”的至少为：66%+64.7%-100%=30.7%。

通过以上几道题目的展示，相信大家对于利用容斥原理解决复杂资料分析题目有了一定的认识，在此基础上大家可以多加练习，熟能生巧。